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态加谈起密系统全同解密从G构建
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简介各位密码学爱好者们好,我是Steven Yue。在上篇文章中,我们一起深入探讨了格密码学的基础概念,并详细解析了LWE问题的构造方法。说实话,当我第一次接触这些内容时,就像走进了一个充满魔法的数学世界,每一个公式背后都藏着令人惊叹的智慧。(想回顾这些内容的朋友可以看看我之前的文章《全同态加密之旅:定义与历史发展》)知识回顾:通往FHE的必经之路在正式进入GSW系统的构建之前,让我们先做个简单的热身... ...
各位密码学爱好者们好,我是Steven Yue。在上篇文章中,我们一起深入探讨了格密码学的基础概念,并详细解析了LWE问题的构造方法。说实话,当我第一次接触这些内容时,就像走进了一个充满魔法的数学世界,每一个公式背后都藏着令人惊叹的智慧。(想回顾这些内容的朋友可以看看我之前的文章《全同态加密之旅:定义与历史发展》)
知识回顾:通往FHE的必经之路
在正式进入GSW系统的构建之前,让我们先做个简单的热身运动,复习几个关键概念。
说到LWE问题(Learning With Errors),这简直就像是密码学界的"万能钥匙"。我常跟学生说,把LWE搞明白了,格密码学和FHE的世界就已经向你敞开了一半的大门。这就像学做菜掌握了火候一样重要。
全同态加密的发展其实经历了四个阶段,就像游戏里的升级打怪:
1. 部分同态:这就像是只能炒菜或者只能煮饭的厨房,RSA和ElGamal就是这样的"单功能厨具"。
2. 近似同态:功能稍微强一些,但就像微波炉做烘焙,总差那么点意思。
3. 有限级数全同态:能做的菜式多了,但复杂度不能太高,否则就会"烧糊"。这让我想起了第一次尝试做满汉全席的惨痛经历。
4. 全同态:终极形态,想做什么菜都可以,还不怕烧糊。
特别值得一提的是Bootstrapping这个"黑科技",它就像是给加密系统装了个"自动灭火器"。这个由Gentry在2009年提出的概念,能把有限级数全同态系统升级成全同态系统。
GSW系统:矩阵的奇妙舞蹈
GSW系统是2013年由三位密码学大牛提出的第三代同态加密系统。第一次读到这篇论文时,我被它的核心思想——"矩阵的近似特征向量"深深吸引。这听起来有点玄乎,对吧?但别担心,我们会像剥洋葱一样层层剖析。
论文很贴心地分了三个阶段来介绍,每个阶段都像是系统构建的一块拼图。今天我们就来看看Gentry团队是如何一步步完成这幅拼图的。
第一次尝试:美丽的失误
说来有趣,我们的第一次尝试居然完美满足了所有要求,我差点以为可以提前下班了!但这种兴奋很快就被泼了冷水——这个系统有个致命的缺陷。细心的朋友可能注意到了,我一直给"加密"二字打引号,这不是偶然。
这个失败的尝试让我想起上期讲的高斯消除法。就像在清晰的方程组中加入噪音会变成困难的LWE问题一样,我们在特征向量等式里也尝试加入噪音,结果...(卖个关子)
GSW系统的精髓
说实话,这篇文章可能是系列中最"硬核"的一篇了。我尽量用通俗的语言来讲解,但有些数学公式还是绕不开。如果遇到不理解的地方,建议停下来多读几遍,就像我当年研究这个课题时一样。
GSW系统的精妙之处就在于"近似特征向量"这个概念。我们从普通的特征向量出发,先构建了一个全同态但不加密的系统。然后,像在LWE问题中加入噪音一样,我们得到了一个加密但只能部分同态的系统。最后,通过二进制分解这个工具,终于构建出了完整的有限级数全同态加密系统。
如果你能理解这个演进过程,恭喜你!你已经掌握了FHE系统构建的核心思想。这真是件值得开心的事,毕竟FHE这个领域才诞生十年左右,我们已经站在密码学的前沿阵地了。
未完待续:通向FHE的最后一步
现在我们已经按照GSW论文的指引,成功构建出了LFHE系统。但就像我在第一篇中承诺的,我们的征途是星辰大海——真正的FHE系统。
(小贴士:GSW原文使用的是非对称加密形式,我这里为了理解方便改成了对称加密形式,但这丝毫不影响系统的正确性和功能性。)
要实现从LFHE到FHE的跨越,就需要请出Gentry的"终极武器"——Bootstrapping。简单来说,它就像是为加密数据准备的"净化器",能把噪音过大的密文"刷新"成干净的新密文。
下一期,我们将详细解析GSW系统如何运用Bootstrapping完成这场华丽变身。如果篇幅允许,我们还可以聊聊HELib、SEAL、TFHE等现有FHE库的异同点。敬请期待!
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